Математика•Геометрия•МОН учебна програма

Еднакви триъгълници: Трети и четвърти признак за еднаквост

📐 I признак (СУС): две страни и ъгъл между тях📐 II признак (УСУ): страна и два прилежащи ъгъла📐 III признак (ССС): три съответно равни страни📐 IV признак (ХК): хипотенуза и катет в правоъгълен триъгълник📐 Златно следствие: от еднаквостта следва равенство на ВСИЧКИ съответни елементи (страни, ъгли, медиани, височини)

1. Основни концепции и дефиниции

Два триъгълника са еднакви, ако имат съответно равни страни и съответно равни ъгли. В задачите от НВО се прилагат четирите признака за еднаквост и златните свойства на равнобедрения и правоъгълния триъгълник.

2. Формули и теореми за НВО

I признак (СУС)

a = a₁, b = b₁ и ∡(a,b) = ∡(a₁,b₁) => ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁

Ъгълът задължително трябва да бъде ЗАКЛЮЧЕН между двете дадени страни!

II признак (УСУ)

c = c₁, ∡A = ∡A₁ и ∡B = ∡B₁ => ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁

Двата ъгъла трябва да лежат на дадената страна c.

III признак (ССС)

a = a₁, b = b₁ и c = c₁ => ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁

Три съответно равни страни гарантират еднаквост.

IV признак за правоъгълни триъгълници (ХК)

c = c₁ и a = a₁ (при ∡C = ∡C₁ = 90°) => ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁

Хипотенуза и катет са достатъчни за еднаквост на правоъгълни триъгълници.

3. Решени модели на задачи от НВО (Стъпка по стъпка)

Модел 1НВО Математика 7. клас – Модел 1: I признак (СУС)

3-стъпков алгоритъм

Условие: В равнобедрения ΔABC (AC = BC) точките M ∈ AC и N ∈ BC са такива, че AM = BN. Докажете, че ΔABM ≅ ΔBAN и че BM = AN.

Стъпка 1: Идентифициране на съответните равни елементи

AB е обща страна. AM = BN по условие. Тъй като ΔABC е равнобедрен, базовите ъгли при основата са равни: ∡BAM = ∡ABN.

Стъпка 2: Прилагане на I признак (СУС)

От AB обща, AM = BN и ∡MAB = ∡NBA => ΔABM ≅ ΔBAN по I признак.

Стъпка 3: Извод за съответните страни

Като съответни страни в еднакви триъгълници срещу равни ъгли следва, че BM = AN.

Краен отговор: BM = AN (доказано)

Модел 2НВО Математика 7. клас – Модел 2: II признак (УСУ)

3-стъпков алгоритъм

Условие: През средата M на отсечката AB е построена права, която пресича две успоредни прави a || b съответно в точки P и Q. Докажете, че PM = QM.

Стъпка 1: Намиране на равни ъгли при успоредни прави

Тъй като a || b, кръстните ъгли са равни: ∡MAP = ∡MBQ.

Стъпка 2: Връхни ъгли и страна между тях

AM = BM (M е среда). Ъглите ∡AMP = ∡BMQ като връхни ъгли.

Стъпка 3: Еднаквост по II признак и крайно заключение

По II признак (УСУ) ΔAMP ≅ ΔBMQ => съответните страни PM = QM.

Краен отговор: PM = QM (доказано)

Модел 3НВО Математика 7. клас – Модел 3: IV признак за правоъгълни триъгълници (ХК)

3-стъпков алгоритъм

Условие: В правоъгълните триъгълници ΔABC (∡C = 90°) и ΔABD (∡D = 90°) хипотенузата AB е обща и катетите AC = BD. Докажете, че BC = AD и че ∡CAB = ∡DBA.

Стъпка 1: Проверка на условията за IV признак

И двата триъгълника са правоъгълни (∡C = ∡D = 90°). Имат обща хипотенуза AB и равни катети AC = BD.

Стъпка 2: Прилагане на IV признак (ХК)

По хипотенуза и катет ΔABC ≅ ΔBAD.

Стъпка 3: Извеждане на равенствата на търсените елементи

От еднаквостта следва, че BC = AD (съответни катети) и ∡CAB = ∡DBA (съответни остри ъгли).

Краен отговор: BC = AD; ∡CAB = ∡DBA (доказано)

4. Внимавай за: Типични грешки при изчисление

Разлика между медиана и височина

Медианата разделя срещуположната страна на две равни части, а височината сключва 90°. Те съвпадат САМО в равнобедрен или равностранен триъгълник към основата!

Грешен ъгъл при I признак

Не е достатъчно да има две страни и някакъв ъгъл — ъгълът задължително трябва да бъде ЗАКЛЮЧЕН между тези две страни!

Бърз тест за проверка: 10 математически въпроса

Генериран от банката със задачи по стандартите на МОН за Еднакви триъгълници: Трети и четвърти признак за еднаквост.

Решени: 0 / 10

Въпрос 1

Предизвикателство

В ΔABC и ΔKLM имаме AB = KL = 7 cm, BC = LM = 5 cm и ∠C = ∠M = 70°. По кой признак са еднакви?

Въпрос 2

Предизвикателство

Два правоъгълни триъгълника имат равни хипотенузи и по един равен катет. От кой признак следва, че са еднакви?

Въпрос 3

Средно

Ако трите страни на ΔABC са 5 cm, 6 cm и 8 cm, а на ΔPQR са 6 cm, 8 cm и 5 cm, то:

Въпрос 4

Средно

Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако имат съответно равни:

Въпрос 5

Средно

Кои елементи на два триъгълника трябва да са съответно равни по IV признак за еднаквост?

Въпрос 6

Средно

Два равностранни триъгълника са със страни по 5 cm. По кой признак са еднакви?

Въпрос 7

Средно

За да са еднакви ΔABC и ΔA₁B₁C₁ по III признак, при AB = A₁B₁ и BC = B₁C₁, трябва още:

Въпрос 8

Базово

В ... и ... имаме ..., ... и .... По кой признак триъгълниците са еднакви?

Въпрос 9

Базово

В правоъгълните триъгълници ... и ... (с прави ъгли при ... и ...) хипотенузите ... и катетите .... Триъгълниците са еднакви по:

Въпрос 10

Средно

По кой признак са еднакви два триъгълника с три съответно равни страни (a = a₁, b = b₁, c = c₁)?

Еднакви триъгълници: Трети и четвърти признак за еднаквост

Еднакви триъгълници: Трети и четвърти признак за еднаквост

📐 Основни формули, теореми и правила

⚡ Алгоритъм и стъпки за решаване

⚠️ Къде се губят точки? (Капани на НВО по МОН)

Типична изпитна задача за разписванеНВО Математика 7. клас – Геометрична задача от 2. модул

Еднакви триъгълници: Трети и четвърти признак за еднаквост

1. Основни концепции и дефиниции

2. Формули и теореми за НВО

3. Решени модели на задачи от НВО (Стъпка по стъпка)

4. Внимавай за: Типични грешки при изчисление

Бърз тест за проверка: 10 математически въпроса

Еднакви триъгълници: Трети и четвърти признак за еднаквост

📐 Основни формули, теореми и правила

⚡ Алгоритъм и стъпки за решаване

⚠️ Къде се губят точки? (Капани на НВО по МОН)

Типична изпитна задача за разписванеНВО Математика 7. клас – Геометрична задача от 2. модул

Еднакви триъгълници: Трети и четвърти признак за еднаквост

1. Основни концепции и дефиниции

2. Формули и теореми за НВО

3. Решени модели на задачи от НВО (Стъпка по стъпка)

4. Внимавай за: Типични грешки при изчисление

Бърз тест за проверка: 10 математически въпроса